Monte Hallův paradox a jiné hrátky s pravděpodobností – řešení

Redakce — Fri, 25 Apr 2014 19:32:01 +0000

Monty Hall aneb Cena za dveřmi

Je větší pravděpodobnost, že velká cena je za vámi vybranými dveřmi, nebo za libovolnými z nevybraných? Jistý návod poskytovala samotná druhá úloha. Jsou-li na začátku alespoň troje dveře, vždy bude větší pravděpodobnost, že výhra bude za skupinou dveří, které jste si nevybrali, a proto je lepší využít příležitost a volbu změnit. Důkladný rozbor najdete na Wikipedii nebo např. v knize Amira D. Aczela s názvem Náhoda.

Dva přátelé a jejich děti

V tomto typu problémů je potřeba si správně uvědomit, jaké jsou všechny teoreticky možné kombinace. Resp. je-li správné uvažovat o 3 možných kombinacích, tj. 2 dívky, 2 chlapci, dívka a chlapec, nebo o 4 možných kombinacích, tj. 2 dívky, 2 chlapci, první dívka a druhý chlapec, první chlapec a druhá dívka. To, že je potřeba použít 4 teoreticky možné kombinace, si snáze uvědomíme, zmíníme-li, stejně jako v našem článku, že mladší je dcera apod. V prvním případě je tedy pravděpodobnost, že má dvě dcery, 1/3, a pravděpodobnost, že má dceru a syna, 2/3. Ve druhém případě máme k dispozici dvě možnosti (určujeme vlastně pohlaví pouze u staršího dítěte) a pravděpodobnost obou případů je 1/2.

Alzheimer

Zde je dobré si stanovit pravděpodobnost všech možností. Dle zadání má v prvním případě chorobu 1 % osob a 80 % osob s chorobou má pozitivní výsledek. Tedy možnost „má chorobu a pozitivní výsledek testu“ platí pro 0,8 % osob, „má chorobu a negativní výsledek testu“ pro 0,2 % osob. Zbývá 99 % osob bez choroby, z nichž 10 % bude mít pozitivní výsledek, tedy možnost „nemá chorobu, ale má pozitivní výsledek“ platí pro 9,9 % osob, a „nemá chorobu a má negativní výsledek“ platí pro 89,1 % osob.

Ve druhém případě jsou pravděpodobnosti případů „má chorobu a pozitivní výsledek“ a „má chorobu a negativní výsledek“ stejné, pravděpodobnost případu „nemá chorobu a má pozitivní výsledek“ však bude 10,1 % a pravděpodobnost případu „nemá chorobu a má negativní výsledek“ 88,9 %.

Teď tedy máme osobu s pozitivním testem, tj. někoho ze skupiny 0,8 % + 9,9 % = 10,7 %. Ke kýženému výsledku se dostaneme výpočtem, kolik procent činí 0,8 ze základu 10,7. Výsledek je 7,5 %.

Ve druhé variantě počítáme, kolik procent činí 0,8 ze základu 10,9. Výsledek je 7,3 %, tedy mezi 10 osobami s pozitivním testem bude maximálně jeden skutečně mít chorobu.

Kufříky

Kdy přijmout bankéřovu nabídku? Podrobné vysvětlení najdete v knize J. Lehrera Jak se rozhodujeme. Pravděpodobnost, že váš kufřík obsahuje jednu konkrétní částku, je 1/4. Tedy s 25% pravděpodobností vyhrajete 200 a s 25% pravděpodobností vyhrajete 500 000. V průměru tedy vyhrajete 751 200/4 tj. 187 800. Bankéř nabídl méně, a proto je lepší nabídku odmítnout. Po otevření kufříku s 500 000 je možná průměrná výhra 251 200/3, tj. 83 733. Bankéř nabízí víc a v tuto chvíli je výhodné jeho nabídku přijmout.

Autor: Hana Kotinová, David Kotin

Monty Hallův paradox a jiné hrátky s pravděpodobností

Redakce — Sat, 08 Feb 2014 23:57:17 +0000

Jste soutěžícím v herní show, úspěšně jste prošli všemi koly soutěže a máte před sebou poslední úkol: vybrat si jedny ze tří dveří. Za dvěma z nich je nějaká mini cena, např. potravinový nebo kosmetický balíček. Za třetími je velká cena, např. auto, cesta kolem světa apod. Moderátor soutěže ví, co se nachází za kterými dveřmi, ale vy jako soutěžící to samozřejmě netušíte.

Řekněme, že jste si vybrali dveře číslo 3. Moderátor bude stupňovat napětí a nejprve ukáže např. dveře číslo 1. Za nimi je malý potravinový balíček. Moderátor se vás nejprve zeptá, zda si tuto výhru přejete ponechat. To samozřejmě nechcete, a proto vám dá opět na výběr. Trváte na dveřích číslo 3, anebo je radši vyměníte za dveře číslo 2? Co byste si zvolili vy?

Většina lidí asi zůstane u své původní volby. Co je však lepší, pokud chceme maximalizovat pravděpodobnost získání nejcennější výhry? Představte si, že dveře nejsou tři, ale že jich je deset. Za devíti je stejná malá cena, za desátými dveřmi velká cena. Jedny si vyberete, řekněme, že opět číslo 3. Moderátor otevře všechny dveře kromě vámi zvolených dveří číslo 3 a dveří číslo 2. A opět vám dá vybrat, zdali chcete zůstat u své původní volby čísla 3, nebo zdali volbu změníte na číslo 2. Pro co se rozhodnete tentokrát? Myslíte si, že pravděpodobnost získání lepší ceny je padesátiprocentní, ať už zůstanete u původní volby, nebo své rozhodnutí změníte? Nebo je to jinak? Přemýšlejte, řešení prozradíme v příštím čísle.

Potkali jste dva dávné kamarády a v průběhu hovoru vám jeden z nich prozradí, že má dvě děti. Šibalsky dodá, že alespoň jedno z nich je dcera. Předpokládejme, že pravděpodobnost narození chlapce a dívky je naprosto stejná, tj. 50 %. Jaká je pravděpodobnost, že má dceru a syna, a jaká je pravděpodobnost, že má dvě dcery? Druhý říká, že taky má dvě děti a mladší z nich je dcera. Jaká je teď pravděpodobnost, že má dvě dcery, a jaká, že má dceru a syna?

Všechna čísla v dalších dvou úlohách jsou vymyšlená.

Řekněme, že v běžně prováděném screeningu je pravděpodobnost, že osoba starší 80 let má Alzheimerovu chorobu, 1 %. Pokud osoba starší 80 let Alzheimerovu chorobu má, test bude v 80 % pozitivní. Pokud stejná osoba chorobu nemá, test bude pozitivní v 10 % případů. Test jedné osoby ukazuje pozitivní výsledek. Jaká je pravděpodobnost, že skutečně má Alzheimerovu chorobu?

A druhá verze téhož: V běžně prováděném screeningu bude mít 10 z 1 000 lidí starších 80 let Alzheimerovu chorobu. Test ukázal pozitivní výsledek u 8 z 10 otestovaných. Z 990 lidí, kteří se nechají otestovat, se ukáže pozitivní výsledek u 100 lidí. Teď máte skupinu 100 lidí s pozitivním výsledkem testu. Kolik z nich má Alzheimerovu chorobu? Bude se pravděpodobnost s tímto zadáním lišit od předchozího?

Ber nebo neber – hra s kufříky, kterou možná znáte z televize. Jsou čtyři kufříky a každý z nich ukrývá buďto 200, 1 000, 250 000 nebo 500 000 Kč (samozřejmě nevíte, kde se která finanční suma nachází). Na začátku si jeden vyberete, ale neotevřete ho. V každém kole se pak otevírá další ze zbývajících kufříků a podle částky uvnitř vám bankéř – váš protihráč – udělá odpovídající nabídku za váš neotevřený kufřík. Ta roste nebo klesá na základě pravděpodobnostního výpočtu, kolik peněz ještě zůstává ve hře.

Bankéř vám nejdříve nabídne 126 621 Kč. Přijmete? Řekněme, že jste se rozhodli nepřijmout a otevřeli další volný kufřík, který (bohužel pro vás, tento kufřík už si nesmíte vybrat) obsahoval částku 500 000 Kč. Bankéř nyní nabízí 86 850 Kč. Přijmete nabídku?

Pokračování příště… Z těch, kdo se pokusí o řešení a zašlou nám odpověď na e-mail hana.kotinova@mensa.cz, vylosujeme výherce drobné odměny.

Ke splnění úlohy máte rybníček, který podle přítomné pláže slouží ke koupání, a tak je v něm i mělčina vhodná k měření. Je bezvětří, hladina je zcela klidná, rybky se před vámi raději uklidily do hlubin. Protože by byla zlomyslnost nechat vás měřit při teplotě 4 °C, kdy má voda hustotu 1 g/ml, musíme se smířit s malou odchylkou, která ale chybu měření podstatně nezvýší. Křemenných oblázků různé velikosti je v hrubém říčním písku dostatek a jejich rozpoznání je snadné. Takže kbelík, odměrku a jde se na to.

Řešení spočívá ve zvážení vhodného množství křemínků a změřit jejich objem. Vydělením obou hodnot ve správných jednotkách zjistíme, kolikrát je křemen těžší než voda. To je ta poměrná hustota. Protože odměrka má stupnici v mililitrech, budou všechny změřené objemy v ml a všechny hmotnosti (váhy) v gramech. Postupů je několik. Uvedu tři. Podle hlavního zadání, měřicím zařízením je pouze „připravený kbelík“,dále jen kbelík, a odměrka.

1. Postup

Příprava kbelíku

Do kbelíku vložíme vhodné množství kamenů, které budou uvnitř jako přívažek po celou dobu měření. K vážení kamenů totiž využijeme výtlaku kbelíku a potřebujeme, aby plaval v rybníku svisle,tj. aby měl těžiště pod hladinou a osu vertikálně. Jako u lodi. Množství zátěže zvolíme tak, aby byl kbelík asi jednou třetinou své výšky nad hladinou. Jestli více nebo méně záleží na konkrétním experimentálním uspořádání. Pokud jde odejmout držadlo, uděláme to, protože svou vahou kbelík trochu naklání. Nezbytné to ale není.

Kalibrace kbelíku

Kbelík dáme do rybníku tak, aby plaval, a nalijeme do něj tolik vody, aby se zanořil hlouběji, alespoň do 9/10 výšky, ale nepotopil se. Na čáře ponoru, tj. tam, kam až dosahuje vnější hladina, uděláme na vnější stěně kbelíku fixem značku. Druhou značku uděláme na vnitřní stěně kbelíku přesně ve výši hladiny vody uvnitř.

Měření

Z kbelíku odlijeme do odměrky A ml vody (cca 750 ml). Kbelík dáme do rybníku tak, aby plaval, a přidáváme do něj oblázky, a sice tolik, až se vnější značka dotkne hladiny rybníka. Oblázky váží stejně jako voda v odměrce (A ml = A g ). Kbelík vyndáme na břeh a z odměrky, která stále obsahuje A ml vody, doplníme vodu uvnitř kbelíku přesně k vnitřní značce. V odměrce zbude B ml vody. Přesně takový objem mají měřené oblázky.

Výpočet: Poměrná hustota g/ml = A:B

2. postup

Kalibrace kbelíku

Vnitřní objem – Odměrkou plníme kbelík vodou, až právě přeteče. Použili jsme A ml vody,vnitřní objem kbelíku je tedy A/ml/.

Maximální výtlak kbelíku – Kbelík dáme do rybníku tak, aby plaval a pak odměrkou plníme vodou, až se právě začne potápět. Použili jsme B ml což je prakticky B gramů vody, maximální výtlak kbelíku je tedy B/g/.

Měření

Kbelík dáme do rybníku tak, aby plaval a pak do něj přidáváme křemenné oblázky. Tolik, až se právě začne potápět. Překonali jsme maximální výtlak kbelíku, oblázky váží B/g/.

Vylovíme kbelík a vylijeme z něj všechnu vodu. Pouze a jen vodu, všechny kameny (zátěž i oblázky) v něm musí zůstat. Odměrkou plníme kbelík s oblázky vodou, až právě přeteče. Použili jsme C ml vody. Rozdíl (A-C) je roven objemu měřených oblázků v mililitrech.

Výpočet: d- poměrná hustota g/ml d=B:(A-C)

3. postup

Kalibrace kbelíku

Kbelík dáme do rybníku tak aby plaval a nalijeme do něj tolik vody, aby byla všechna zátěž potopena. Odměrkou přesně odměřujeme malá množství vody (například 50ml) a postupně vléváme do kbelíku.Po každém přídavku zakreslíme fixkou značku na vnější stranu kbelíku přesně v úrovni vnější hladiny a druhou na vnitřní straně kbelíku přesně v úrovni vnitřní hladiny. Tak vytvoříme dvě stupnice. Uvnitř kbelíku stupnici objemu a vně stupnici výtlaku.

Měření

Kbelík dáme do rybníku tak aby plaval a nalijeme do něj tolik vody aby byla potopena jak zátěž,tak i pak při měření oblázky. Vnitřní hladina dosahuje k nějaké vnitřní značce, hladina rybníku k nějaké značce vnější. Jednu z těchto hladin můžeme nastavit dolitím vody přesně,druhá bude mít ravděpodobně malou odchylku,jejíž velikost bude závislá na jemnosti kalibrace a bude ji třeba odhadnout. Do kbelíku vložíme oblázky. Na vnitřní stupnici odečteme změnu objemu A ml,která je rovna objemu oblázků. Na vnější stupnici odečteme změnu zatížení kbelíku B/g/,která je rovna váze/hmotnosti/ měřených oblázků.

Výpočet: d-poměrná hustota g/ml d=B:A

Autor: David Kotin, Hana Kotinová

pravděpodobnost – Magazín Mensa

Monte Hallův paradox a jiné hrátky s pravděpodobností – řešení

Monty Hallův paradox a jiné hrátky s pravděpodobností

1. Postup

2. postup

3. postup