Zásadní je nejen rozsah, ale i pestrost. MathNet pokrývá čtyři desetiletí soutěžní matematiky napříč šesti kontinenty a zahrnuje jak textové, tak obrazové úlohy. Na rozdíl od dřívějších datasetů, které čerpaly hlavně z USA a Číny, zachycuje různé matematické tradice a způsoby uvažování z celého světa.

Sestavení databáze nebylo jednoduché. Tým musel dohledat téměř 1600 PDF dokumentů o více než 25 000 stranách, včetně starých skenů. Klíčovou roli sehrál soukromý archiv Navida Safaeiho, který tyto materiály ručně shromažďoval řadu let.

Velkou výhodou MathNetu je kvalita zdrojů. Úlohy pocházejí výhradně z oficiálních soutěžních sborníků a jejich řešení jsou odborně zpracovaná a často nabízejí více přístupů. To z databáze dělá cenný nástroj nejen pro trénink AI, ale i pro studenty připravující se na olympiády, často bez systematické podpory.

Současně dataset ukazuje limity současné umělé inteligence. I nejlepší modely nedosahují stoprocentní úspěšnosti a mají problémy zejména s úlohami obsahujícími obrázky nebo s méně rozšířenými jazyky. Výsledky tak naznačují, že pokrok v matematickém uvažování AI je stále nerovnoměrný.

MathNet nabízí i nové způsoby testování – například schopnost rozpoznat, že dvě úlohy sdílejí stejnou matematickou strukturu. To je výzva nejen pro stroje, ale i pro lidské odborníky. Databáze tak nepředstavuje jen archiv úloh, ale i nástroj, který může změnit způsob, jakým se matematika učí, sdílí a zkoumá.

mathnet.mit.edu

Jak jsme již uvedli, velké množství géniů minulosti odmítalo aktuální nekonečno. Byl to třeba již zmíněný Aristoteles, nebo Euklid (své v „nekonečnu“ protínající se rovnoběžky měl definovány potenciálně). Zenon z Eleje svými známými paradoxy také zpochybňoval nekonečno, konkrétně nekonečné dělení prostoru nebo času. Dalšími odpůrci nekonečna byli Archimedes, Avicena, Galileo, Thomas Hobbes, John Locke, Newton, George Berkeley, David Hume, a matematici d’Alembert, Lagrange, Gauss, Cauchy, Poincaré a další. Dokonce samotný Cantor, který založil svou teorii množin na nekonečné množině přirozených čísel, zastával názor, že neexistují nekonečně malé veličiny, a že kalkulus pracuje pouze s limitami. To ale oslabuje i jeho pozici pro teorii množin, jak je mu vytýkáno, neboť jeden typ nekonečna uznává, jiný ne. Ještě k odpůrcům existence nekonečna přidejme žijícího génia Dorona Zeilbergera, což je matematik, kterého někteří řadí na úroveň Fieldsovy medaile (tato medaile je obdobou Nobelovy ceny, ale pro matematiku, a je vzácnější než Nobelovka, protože se uděluje jednou za 4 roky).

Vypadá to, že velká převaha názorů je na straně „odmítačů“ nekonečna. David Hilbert s jeho programem absolutní matematiky sice prohlásil: „Nikdo nás nebude moci vyhnat z ráje, který pro nás vytvořil Cantor.“, a myslel tím Cantorovu teorii množin založenou na nekonečnu, ale najdeme i jeho překvapivé prohlášení, že: „… nekonečno nikde nenajdeme; není přítomno v přírodě ani není přípustné jako základ našeho racionálního myšlení…“. Považoval je jen za fiktivní, nicméně užitečný koncept, ne za ontologickou, tedy existující entitu. I Kurt Gödel, asi nejčistší zastánce aktuálního nekonečna, považoval nekonečnou množinu přirozených čísel, tuto bránu, kterou kolem roku 1900 vtrhlo nekonečno do matematiky, za silnou idealizaci a dával taky šanci „nekonečnu“ potenciálnímu. Skoro to vypadá, že jediný čistý zastánce nekonečna byl Bolzano, v jehož Paradoxech nekonečna lze ale celkem snadno zjistit, že píše často spíše o nekonečnu potenciálním, pokládaje ho za aktuální.

Ale pravda nejde odhlasoval, a to ani génii, takže stojí-li logika proti všem géniům, vyhrává logika. Ostatně, kdyby dnes matematici hlasovali, obrovská většina by se nekonečna zastala. Ale co na věc tedy říká sama logika? I z pohledu logiky to vypadá na prohru nekonečna. Ono by mohla úplně stačit jazyková analýza pojmu nekonečna. Má to být něco, co nemá konec, ovšem dotažené až do konce. Nic už by nemělo jít přidat jako u potenciálního „nekonečna“. V angličtině je pro nekonečno dokonce běžný termín completed infinity. Jak říkal geniální matematik profesor Vopěnka, je to „vyčerpání všech nevyčerpatelných možností“. Už tato rozpornost tohoto pojmu by vlastně stačila, aby bylo jasné, že nekonečno neexistuje. Nebo si můžeme uvědomit, že nekonečnou řadu přirozených čísel nelze realizovat, protože „poslední“ člen té řady by měl nekonečně cifer, což nelze zapsat, tedy ani myslet v konkrétní podobě. Ovšem to zdaleka nejsou jediné argumenty nebo vlastně důkazy, jen jsou to ty nejjednodušší.

Galileo totiž podal důkaz spornosti nekonečné řady přirozených čísel (těch dveří, kterými se nekonečno dostalo do matematiky). A tento důkaz svou přesvědčivostí zabránil vstupu nekonečna do matematiky zhruba do roku 1900. Galileo to udělal tak, že vedle sebe postavil dvě řady. Jedna řada byla řada přirozených čísel, 1, 2, 3, 4, …, druhá pak řada jejích druhých mocnin. 1, 4, 9, 16… Samozřejmě každá mocnina patří ke svému základu, tedy by nekonečná řada přirozených čísel měla být stejně velká jako řada odpovídajících mocnin. Ovšem mezi mocninami jsou zase mezery, kam lze doplnit 2, 3, 5, 6, 7, 8 atd. Tedy řada mocnin má menší počet členů než řada přirozených čísel. Tyto dvě řady jsou překvapivě současně stejně i různě velké. Představa této nekonečné číselné řady je tedy sporná, pročež neexistuje stejně jako třeba trojúhelník s pěti vrcholy. Tento důkaz je dnes zastánci nekonečna, eufemisticky nazývaný jen jako paradox. Ovšem jakýkoliv rozpor v základě formálního systému znamená tzv. logickou explozi, tedy to, že cokoliv souvisí s rozporným pojmem, lze současně dokázat i vyvrátit. Je to tedy konec racionálního uvažování. Sporné pojmy proto ve vědecké abstrakci neexistují, jsou nevědecké.

To se ostatně v teorii množin jasně ukazuje na jejích „paradoxech“, jako třeba Cantorův paradox množiny všech množin, Burali-Fortiho paradox, Banach-Tarského paradox (to je ten, jak rozdělit jednu kouli na dvě, stejné jako ta původní). Dále jsou to do lingvistiky směřující paradoxy Berryho a Richardsův. Z rozporné představy nekonečna plynou neřešitelné problémy axiomu výběry a existence kontinua. Samozřejmě nejde v žádném případě o paradoxy, ale o rozpory, které ukazují na nesmyslnost, tedy neexistenci nekonečna. Když nekonečno odmítneme a přijmeme jen potenciální „nekonečno“, zmizí všechny neřešitelné problémy a všechny „paradoxy“, jako kouzelným proutkem. Zastánci nekonečna ale tyto problémy neumí vyřešit, nebo mají „řešení“, která jsou nesystematickými ad hoc záplatami, která nejsou ničím logicky podložena. Třeba, aby se nemohla množina všech množin vkládat pořád do sebe, čímž přestane být množinou všech množin, vymyslí se, že je to třida, které se zakáže vložit samu do sebe. Co ale zabrání tomu, aby se do sebe vložila? Nic. Není v tom žádná logika.

Krásně je vidět, jak veškerá tajemná paradoxnost, tedy nesmyslnost, zmizí použitím potenciálního nekonečna, třeba na paradoxu Hilbertova hotelu. Hotel to je nekonečný, plně obsazený, kam ale přijede autobus s nekonečnem nových hostů, a přesto se do hotelu všichni vejdou. Když na to jdeme potenciálním „nekonečnem“, je to průhledné. U hotelu máme stavební partu, která v mžiku dostaví kolik jen pokojů je třeba. Hotel je pochopitelně vždy konečný, jen je tedy „nafukovací“, neboli potenciálně „nekonečný“. Stejně počet nových hostů je jen potenciálně „nekonečný“, tedy vlastně vždy konečný.

Dále, jakákoliv teorie množin sice říká, že je postavena na nějakém nekonečnu, ale když ji prozkoumáme, zjistíme, že ve skutečnosti ho nikdy nepoužívá, tedy kromě hraničních úvah o „paradoxech“. Je to podobné, jako když měl Newton ve své fyzice nekonečnou rychlost, ale ta se nikdy v klasické fyzice nepoužívá, protože by vznikly nesmysly s ne validní výsledek. Teorie množin používá vždy jen konečný počet prvků množin, ale bez hranic, tedy jen potenciálně „nekonečně“ mnoho prvků. Ostatně velmi často používaný zápis nekonečné řady nekonečných čísel je 1, 2, 3 … , a to je na hony nekonečnu vzdálené. Mimochodem, obrana nekonečna ze strany matematiků se zakládá právě na tom omylu, že bez nekonečna není teorie množin možná.

Používat v matematice potenciální „nekonečno“ je mnohem složitější než užití nekonečna, protože má navíc oproti nekonečnu horizont, za kterým jsou hodnotu neznámé nebo neurčité. Jaké to fuj v božské matematice, že? (Že bychom zrušili i statistiku, protože je jen pravděpodobnostní?) Mnohem jednodušší je mít matematiku na základě tvrzení, že žádný horizont a neurčitost neexistují (což ale zase dává nekonečně se opakující nudu). Zjednodušení potenciálního „nekonečna“ na nekonečno je ale seriózní vědecký postup, jak řešit jednodušší verzi problému či teorie, když je plné řešení problému zatím velmi obtížné ba nemožné. Tak to udělal i zmíněný Newton ve své fyzice, který velkou leč konečnou rychlost světla nevědomě nahradil možností nekonečné rychlosti plynoucí z jeho absolutního prostoru a absolutního času. Kdyby omezil rychlosti rychlostí světla, musel by vybudovat speciální i obecnou teorii relativity, což bylo v jeho době zhola nemožné.

A i z tohoto newtonovského případu je zřejmé, že nekonečno je neexistující utopická idealizace. Fér by bylo vědomě deklarovat, že horizont potenciálního „nekonečna“ nebudeme zatím řešit a odložíme tento problém na později, a že stavíme pouze konečnou zjednodušenou teorii. Mimochodem, je tedy zřejmé, že nekonečno je defacto jednoduší a „menší“ než potenciální nekonečno, protože potenciální „nekonečno“ = nekonečno + horizont + svět za horizontem.

Samozřejmě důkazů neexistence nekonečna je více. Dalším je Skolemův „paradox“, který jasně ukazuje neurčitost nekonečna, konkrétně nemožnost realizovat nekonečnou řadu přirozených čísel. Úvaha je založena na tom, že si myslíme nějaké přirozené číslo M, větší než jakékoliv kdy realizované/myšlené největší přirozené číslo. Jeho hodnotu neznáme, ale můžeme vytvořit sčítáním či odčítáním kolem něj podmnožinu přirozených čísel, která se chová stejně jako obvyklá přirozená čísla, jen neznáme jejich hodnoty. Když tuto podmnožinu budeme rozšiřovat, může zasáhnout i do přirozených čísel, jejichž hodnoty už byly určeny, čímž vznikne schrödingerovská situace (znáte Schrödingerovu živo-mrtvou kočku, že?). Některá čísla mají a současné nemají známou hodnotu. Dokonce můžeme takovou podmnožinu (možná) protáhnout až do záporných čísel, takže některá čísla současně budou i nebudou přirozená. Takových podmnožin je možné udělat libovolný počet a budou se současně překrývat i nepřekrývat atd.

Hlavně se ale množina přirozených čísel roztrhla na libovolný počet neurčitě vzdálených podmnožin, protože takových čísel můžeme myslet libovolný počet, nejen M. Tato množina tedy není kompaktní, jak se klasicky předpokládá. Je i nesourodá co do charakteru. Standardní část je určitá, ostatní části ne. Množina všech nekonečně mnoha přirozených čísel tedy není aktualizována, není ani aktualizovatelná, pročež neexistuje. Dokonce je snadné si představit, že neurčitá část množiny přirozených čísel je mnohem větší než ta část určitá, a kdyby nekonečno skutečně existovalo, byla by ta neurčitá část nekonečně větší než ta určitá. Množina všech přirozených čísel by tak obsahovala přesně 0 % aktualizovaných přirozených čísel se známou hodnotou, tedy jako celek by byla tato množina zcela neurčitá. Neexistuje proto v té určité podobě, jak se obvykle má za to.

Skolemův důkaz je vlastně formálnější vyjádření faktu, že všechny entity (lidé, počítače, knihy…), které obsahují matematiku, mají všechny vlastnosti (paměť, rychlost operací atd.) konečné. Nekonečno proto provždy v nich nemůže existovat, a to ani v abstrakci. A naděje, že je nekonečno v platónské říší idejí, zhasne už otázkou, kde se tato říše nachází. U boha? To jsme ale už opustili vědu a skončili v náboženství.  (Mimochodem, realita nemá s nekonečnem celkem žádný problém, neboť fyzika tvrdí, že když se někde v rovnicích objeví nekonečno, znamená to, že dané teorie tam už neplatí. To je vlastně tvrzení, že nekonečno v realitě neexistuje, je to jen artefakt.)

A tady jsme u toho bodu, kudy se naivní a iracionální představa nekonečna dostala do matematiky. Nekonečnou paměť a nekonečnou rychlost uvažování potřebnou k realizaci všech nekonečně mnoha přirozených čísel (či jiného nekonečna), má jedině všemohoucí a vševědoucí bůh. Žádný člověk nebo jeho výtvor takové vlastnosti nemá. Proto když člověk uvažuje o jakémkoliv nekonečnu, rouhá se a namyšleně si představuje, že je roven bohu. Ale není, má k němu nekonečně daleko. A v lidském světě extrapolace ze známého do neznámého je tím méně spolehlivá, čím na větší vzdálenost se dělá. Zde se ale dělá extrapolace na nekonečnou vzdálenost, takže je jasné, že taková extrapolace je zcela chybná. Nekonečná množina všech přirozených čísel (pro nás, řečeno s Kantem) neexistuje, jak také ukazuje ve svém článku Neexistence množiny všech přirozených čísel geniální profesor Vopěnka. Existuje jen pro boha, který neexistuje. (Nic proti bohu, jako motivaci, viz třeba pyramidy, teorie množin nebo středověké umění. Ale do vědy jako argument bůh nepatří.)

Námitka, že omezit matematiku lidskými limity, znamená antropocentrismus, se odmítne snadno. I kdyby existovaly entity absolutně nedosažitelná našim uvažováním, my o nich nemůžeme říci, že existují, právě proto, že jsou pro nás zcela nedostupné. Takže tvrdit, že existují, je tvrzení zcela nepodložené a nedokazatelné. Princip falsifikace (Popper) určitě máme ve své intuici správně. Jde o princip, že každou konkrétní hranici našeho antropocentrického poznání můžeme posunout, překonat. Problém ale je, že když ji chceme posunout nekonečněkrát či do nekonečna, což je v podstatě totéž, vznikne logická smyčka. Je to jako kouzelnický trik tahání králíka z klobouku. Králík se prostě někam skrytě vloží, aby ho kouzelník následně „stvořil“. Stejný podvůdek se udělá i s nekonečnem, pokud se poctivě nepřizná, že pro něj není žádný důvod a zavede se jako rozporný axiom.

Chceme-li zkonstruovat třeba nekonečnou množinu přirozených čísel, musíme nekonečněkrát přidat číslo 1. To je ale konstruování nekonečna tak, že do úvahy nekonečno v jiné podobě vložíme předem. Je to tautologie nekonečna. A protože ani to „tajně“ vložené nekonečno (nekonečné přidávání jedničky) nelze získat bez jiného nekonečna (třeba nekonečného času), je jasné, že to „tajně“ vložené nekonečno potřebuje jiné, ještě více skrytě vložené nekonečno. A tak bychom mohli postupovat do „nekonečna“. Že by každé nekonečno potřebovalo ke své existenci „nekonečně“ mnoho jiných nekonečen? Krásný pohřeb nekonečna, že?

Nekonečno je evidentně iracionální nevědecký koncept, podoba boha v matematice, která nejenže není v matematice vůbec potřeba, ale vytváří v ní také neřešitelné rozpory. Že je nekonečno božský omyl můžeme zjistit i z historie. Jak píše Petr Vopěnka, znalec historie matematiky, jediný důvod pro nekonečno v matematice byl vždy bůh. To je zcela zřetelné i z Bolzanových Paradoxů nekonečna i z Cantorových prohlášení. Cantor třeba první nekonečné ordinální číslo nazval omegou, což připomíná biblické „já jsem alfa a omega“.

Všimněme si, že výše jsme v podstatě nepoužili žádný matematický argument. Je to logicky proto, že problém existence nekonečna ani není matematický problém. Jde v něm totiž o to, jestli existuje absolutní abstrakce. Ovšem matematika neřešení ani to, co je to abstrakce, ani to, co je to absolutní, a už vůbec ne, co to znamená existovat. Tyto termíny jen ve zjednodušení přijímá z obecnějších, nematematických úvah.

Ještě uveďme, že oproti statickému a údajně určitému nekonečnu má potenciální „nekonečno“ výhodu se své neurčitosti a dynamičnosti. Jak je výhodné začlenit neurčitost do matematiky nám ukázalo zavedení neznámé, bez které by se třeba rovnice řešily hodně obtížně. A zavedení proměnné umožnilo třeba vznik funkcí, bez kterých si nelze matematiku už vůbec představit.

A ještě filosofický závěr. I když jen metaforický. Kdyby bylo bývalo nekonečno existovalo, bylo by nekonečně rozmanité. Jednostranné nekonečno, což je každé nekonečno, o kterém se mluví, by byla skřípající směs absolutnosti nekonečna a relativnosti to, čeho to nekonečno je (třeba řady čísel).

P.S.: Kdyby někdo chtěl další argumenty a systematičtější výklad nekonečna, může si je přečíst v mé Ph.D. disertaci s názvem Filosofie nekonečna . Ale je ještě lepší si přečíst knihu Konec nekonečna, která je dalším rozšířením a zdokonalením disertace, zejména co se týče zdrojů a matematické části.

A protože Mensa připravuje systém mentoringu, tak už dopředu upozorňuji na mou nabídku mentoringu v oblasti „nelidské“ filosofie, např. v otázkách, co je to realita, co je základem světa apod. A také v oblasti filosofie fyziky (interpretace kvantové mechaniky a teorií relativity) a filosofických základů matematiky. Ostatně z obsahu výše uvedených prací je okruh otázek, ke kterým mám trochu co říci, patrný. Nebo se o nich můžete informovat v blogu či můžete zhlédnout video přednášky z celostátního setkání Mensy. Nabídka mentoringu platí zejména pro mladší. Vzpomínám, že jsem jako třináctiletý chodil na univerzitní kurz kvantové chemie a že mě to hodně nakoplo.

Encyklopedie je cílena svou bohatě ilustrovanou formou, menším počtem stránek (56) a jednoduchým jazykem spíše na mladší čtenáře. Autoři uvádí jako cílovou skupinu děti od 8 let, nicméně knihu zcela jistě ocení nadšený prvňáček nebo zvídavý předškolák. Naopak nadanému páťákovi už nebude stačit. Obzvláště nadaným dětem školkového věku by kniha mohla ukázat, jak je celý náš svět spjat s číselným vyjadřováním běhu věcí všude kolem nás. Přináší totiž vysvětlení, jak samotná čísla vznikla, že se využívají nejen k záznamu měření různých veličin (vzdáleností, délek, hmotností, ploch), ale také vysvětluje podstatu vzniku kalendáře nebo počítačových programů.   

Na první pohled zaujme kniha svou velikostí – rozměr 24,5 x 28,5 cm není přesně definován žádným běžně používaným formátem papíru, každopádně pro dětského čtenáře se jedná o knihu velkou, což koresponduje i s názvem samotné knihy Velká malá ČÍSLA. Jednotlivé dvoustrany z tužšího papíru tvoří ucelené kapitoly spjaté barvou, tématem i typografií. Celkově působí kniha dojmem vážené encyklopedie.

V této encyklopedii jsou pokryta témata související s čísly jako nástrojem popisu světa kolem nás. Nejedná se o učebnici matematických postupů, návodů k počítání nebo vzorců, i když vysvětlení nějakých principů souvisejících např. s přepočtem teploty nebo času v knize také naleznete. Pak se ale jedná vždy o slovní popis. Kniha není ani zaměřena na nějaká konkrétní či zábavná fakta o číslech. Jednotlivé kapitoly seznamují postupně mladé čtenáře s tím, jak lidé nejprve zaznamenávali svůj majetek, hledali způsoby, jak spravedlivě zaznamenat vyměňované zboží, později potřebovali jednotně určovat délky, rozměry, teplotu i čas, až na konec dospěli k matematickým vzorcům a formulím jako způsobu popisu dějů okolo nás, včetně speciálních čísel jako je PÍ nebo FÍ. Poslední dvojstrany se věnují 0 a 1 jako nástroji programátorů a velmi lehce šifrám.  

Kniha nabízí sice základní informace k jednotlivým tématům, předností je však komplexní ilustrátorské zpracování. Ilustrace jsou integrovanou součástí textu, pomáhají lépe pochopit obsah, jsou barevné a hravé, v měkkých pastelových barvách. Obsahově bych ji zařadila na 1. stupeň základní školy s lehkým informačním přesahem výše. Tomu odpovídá i interaktivní pojetí textu. Autoři se snaží udržet pozornost mladého čtenáře častými otázkami a výzvami k představám konkrétních situací. Tuto knihu si dokáži představit jako součást třídní, klubové nebo družinové knihovničky volně přístupnou dětem na I. stupni ZŠ jako kvalitní zábavná encyklopedie. Určitě může povzbudit kladný vztah dětí k číslům, budovat koncept matematiky jako nástroje k popisu světa. Nejpřitažlivější je jednoznačně kniha svou vizuální podobou. 

Kniha Velká malá ČÍSLA – Čísla, která tvoří náš svět
Isabela Thomas, Robert Klanten, M.-E. Niebius, Raphael Honigstein
Z anglického originálu In Great Numbers přeložila Eva Kadlecová, Ilustrovala Daniela Olejníková
Portál, 2024. Pro děti od 8 let.

Mensantrop, -a m. (1. mn – ové)
člověk, který naplňuje hlavní poslání Mensy, využití inteligence ve prospěch celého lidstva, tím, že dělá něco prospěšného pro všechny, na co by člověk s nižším IQ nestačil

Pro tento díl seriálu si se mnou povídal Mirko Navara, teoretický matematik a profesor na ČVUT, který skromně nepovažuje stopu, kterou za sebou zanechal, za významnou, přestože je autorem nebo spoluautorem minimálně 268 publikací, z nichž 155 je známých i na mezinárodnímu webu ResearchGate. Jeho specializací jsou numerické metody, fuzzy logika, strojové vnímání a statistika.

Dobrý podvečer, díky, že jste si na mě udělal čas. Možná je to tím, že jsem pár let pobyl na ČVUT, ale v kruzích mých přátel jste rozhodně stopu zanechal. V Mense ale minimálně vaše příjmení už taky párkrát zaznělo. Jaký máte k Mense vztah vy osobně?

Já se podílel i na nějakých aktivitách ohledně Mensa gymnázia, snahách o jeho záchranu a tak podobně. Někteří znají mého staršího syna, a vlastně i toho druhého. Já sám jsem vstoupil do Mensy v poměrně pokročilém věku asi 35 let, v testu už jsem měl „seniorský bonus“. Po několika letech jsem se na to začal cítit starý a členství jsem ukončil. Teď už se zase starý necítím, takže ho možná někdy obnovím…

Vaše jméno včetně titulů zabírá celých 30 znaků, z nichž 18 jsou tituly. V e-mailu jsem vás schválně oslovoval „Pane Navaro“, protože si Mirka Navary jako jedinečné osobnosti vážím mnohem více než titulů, které má dnes kdekdo. Jak to vnímáte vy? Jste zvyklý spíš na oslovení „pane profesore“ striktně podle etikety? Co vám je bližší?

S tou délkou máte pravdu, do všelijakých formulářů se to ani nedá vyplnit. My se pohybujeme na pomezí německé kultury a jiné. Ta německá si na tom strašně zakládá. Například rakouští kolegové jsou povinni tituly používat. Tady to takhle vážně nebereme a já to taky tak neberu. Zvyklý jsem na všechno možné. Když mě tak titulují studenti ve škole, působí to divně, ale nijak to neřeším. Pak třeba jezdíme na akce hnutí Brontosaurus, pomáhat tam přírodě. Tam si samozřejmě všichni tykají. Pak takový student skončí semestr, odjede na prázdniny, a koho tam nepotká… Takže my si za vzor klademe spíše tu anglosaskou kulturou, která na to nehledí vůbec, protože je důležité, kdo co umí, a ne jakým titulem se ohání.

Na webu se vaše jméno kromě odborných stránek objevuje i v souvislosti s běháním, na tričku máte nápis, že jezdíte do práce na kole. Sportujete hodně aktivně?

Já se vždycky snažil sportovně žít, ne nutně aktivně sportovat. Registrovaným sportovcem jsem byl jenom příležitostně, ale po padesátce jsem si řekl, že kondice, kterou mám, není samozřejmostí, a že pro to mám něco udělat. Takže jsem kromě ježdění do práce na kole taky začal běhat. Postupně jsem to natahoval na delší tratě, takže i ten maraton jsem si několikrát zaběhl. Teď už ho asi nepoběžím. Ale půlmaraton jsem ještě stihl před covidem a nemusel by být poslední. Takže aktivní ještě jsem, i když se tomu teď věnuji podstatně míň, protože rodina potřebuje, abych měl síly na děti, a ne se tři dny zotavoval z běhání.

Když běžíte nebo jedete na kole, přemýšlíte o něčem pracovním, nebo spíš vypnete?

To je různé. Záleží na tom, co mě zrovna drží. Nemám to nijak zásadní. Ale nejezdím se sluchátky na uších. Za prvé by to bylo nebezpečné a za druhé nemám nic, co bych až tolik chtěl slyšet.

Když jsem hledal vaše jméno na internetu, tak mi hned na druhém místě vyskočily vaše komentáře na webu Seznam.cz. Všiml jsem si, že jste tam se snažil uvádět věci na pravou míru. Není to zrovna na tomto webu trošku sisyfovská práce?

To dělám zřídka. Myslel jsem, že to nikdo nečte. Takže se divím, že jste si toho všiml. Jedině když něco uvidím mezi prvními a mám k tomu co zásadního říci. V jedné z těch diskusí jsem těžce narazil na nepochopení, jindy jsem třeba pomohl. Prostě si říkám, když k tématu můžu říct něco, co druzí neřeknou, tak to tam dám, ale nějak moc se tomu nevěnuji.

Tu sisyfovskou práci jsem zmínil schválně, všiml jsem si totiž, že jste se angažoval i v klubu Sisyfos. Jste tam stále nějak aktivní?

Tam jsem vstupoval hlavně ve starých dobách. Asi před deseti lety ten klub prodělal velkou změnu. Neříkám, že k lepšímu nebo k horšímu, prostě je něčím jiným. Předtím vypadal jako neperspektivní klub staříků, kteří nadávají na to, co vidí kolem sebe, a nedařilo se jim moc oslovit někoho mladšího. Já byl tehdy ten mladší. Pak to ale vzali do ruky lidé, kterým je teď asi tak pětatřicet, a dali tomu novou podobu. Už to není takové komorní, kde se všichni znají. Na druhé straně zaplní přednáškovou místnost a seženou tam velmi zajímavé řečníky. Prostě tomu dali druhý život.

Dala by se činnost klubu Sisyfos popsat jako osvěta kritického myšlení?

Dalo by se to tak říci, nemíří sice jen na takovéhle cíle, ale tu osvětu šíří. Jejich přednášky jsou kvalitní, volí tam velmi dobré lidi a je to zajímavé. Dřív to byl víc diskusní klub. Dnes to jsou opravdu přednášky. A mají seznam exkluzivních hostů. Skoro všechno bych to chtěl slyšet.

To zní jako něco, co stojí za povšimnutí. Když se vrátím k vašemu oboru, tak jako student jsem si vás spojoval hlavně s matematikou a numerickými metodami. Vaše zaměření je ale mnohem širší, včetně fuzzy logiky, kvantové logiky nebo strojového vnímání. Kde je vaše srdce, co vás nejvíc zajímá?

Jako člověk mám vztah spíše k vědění obecně. Těžištěm mé práce jsou ty kvantové logiky a fuzzy logika. To je to, co dělám odborně a kde se cítím doma a na svém písečku. Žádný obor bádání není mou „srdeční záležitostí“, ale ve výuce takový mám. Je jím statistika. Nejdřív mi byla vnucena, ale našel jsem si k ní cestu a myslím, že každý z ní má něco znát na úrovni odpovídající jeho vzdělání. Má aspoň pochopit, jak rozumět výsledkům, co nám statistika říká, a co říci nemůže. Přinejmenším proto, aby se nedivil, když zažije už podruhé stoletou vodu.

Matematik, zejména potom na technice, má tu smůlu, že o tom, o čem bádá, si málo s kým na té škole má co povídat, nanejvýš se svými kolegy a s některými vybranými nejlepšími studenty. V tom, co učí, se už vědecky nevyžívá, to je spíš taková „násobilka“. Zkombinovat to, co učím, s tím, v čem bádám, je celkem těžké a většina lidí to vzdává. Proto jsem rád, když se to překryje.

Podařilo se vám některý výsledek vaší vědecké činnosti vidět prakticky využitý?

To je pro matematika nepříjemná otázka. Teoreticky. Já sice učím numerické metody a pomáhám s aplikacemi, ale to zrovna není něco, k čemu bych významně myšlenkově přispíval. Matematik považuje za aplikaci své věty, že se s ní dokázaly další věty, zatímco se stále pohybuje hluboko v teorii.

Co je vaší nejsilnější motivací v bádání, kromě obecné touhy po vědění?

Doufám, že se ještě se třeba dožiju toho, že některé statistické metody bude možno postavit na kvantovém modelu tak, aby se řeklo podívejte se, takhle se to má počítat a tohle vám má vyjít. Tam se snažím napřít své úsilí. Myslím, že doba uzrála k tomu, že alespoň něco z těch statistických postupů se zformuluje i pro ten obecnější model, aby se to dalo použít. Myslím, že toho bych se ještě mohl dočkat.

Nedávno jsem měl zajímavý rozhovor s kamarády a přišla řeč na pokus, ve kterém nechali neuronovou síť zkoumat fyzikální jevy. Zajímavé bylo, že určila stejný počet stupňů volnosti, ale nadefinovala je úplně jinak. Z toho může vyplývat, že nám známý model fyziky je pouze jeden z mnoha možných a mohli bychom fyzikální zákony postavit na zcela jiných základech. Myslíte, že by něco podobného mohlo nastat i v matematice?

Já vyrostl v době, kdy neuronová síť nic užitečného neřekla, a jsem překvapen, že jsem se dožil změny. Zažil jsem mnoho pokusů, z nichž první začínaly už v šedesátých letech a možná ještě dřív. Už tehdy říkali: „dejte nám ještě desetkrát víc součástek a my už vám to všechno vyřešíme“. A když to říkali čtyřicet let, tak jsem si říkal, že je ten cíl hodně daleko a asi to můžu klidně ignorovat. Ale dožil jsem se toho, že neutronová síť přece jenom opravdu dosáhla takové síly, že už nám říká nové věci. Třeba se sama naučí hrát Go, hraje ho jinak, než se to po staletí učili lidé, a poráží je.

Byl bych ale opatrný s tím, na co hrubou sílu neuronových sítí použijeme. Když ona vyhodnocuje to, co já tady píšu na tabletu, a vyrobí z toho text, který z větší části je to, co jsem chtěl napsat, a zbytek si já opravím, tak to je dobré. Ale že bych jí svěřil řízení jaderné elektrárny, to bych se teda vážně bál, protože jednoho dne by mohla usoudit, že se tady děje něco strašného a udělala by něco neuvěřitelného.

Druhá věc je, že si neuronová síť vymyslela fyziku jinou, než je ta naše. To může být velmi dobrá inspirace. Tu zprávu neznám, ale zní to jako, že z neuronové sítě vylezly informace, které jsou pro člověka nějakým způsobem použitelné, a tedy může tuhle alternativu uchopit, posoudit a může se tím inspirovat. My jsme strašně svázáni světem, ve kterém jsme vyrostli. Jsme hrozně omezováni v tom, co jsme schopni pochopit, některé věci prostě nevidíme, neslyšíme. Máme to zprostředkovaně. Takže to, že by nám umělá inteligence pomohla předefinovat fyziku, bych bral jako možné.

Jestli to samé hrozí matematice? Já myslím, že ne, protože matematika, jak někdo myslím docela příhodně klasifikuje, je věda o neživé přírodě. Objevuje zákony objektivně existující. Jestli jsou to zákony jen našeho světa, to je ještě druhá věc. Bavit se o tom, jestli je náš prostor trojrozměrný, čtyřrozměrný, nebo desetirozměrný, to matematika neřeší. Říká jen, že za předpokladu, že je čtyřrozměrný, pak vám vyjdou tyto důsledky. Jestli to chcete použít, to už je vaše věc. Matematik vám jenom řekne, od kterých předpokladů se dostanete k jakým důsledkům.

Takže nehrozí, že by třeba někdo prohlásil pojďme změnit základní definice a axiomy, na kterých matematika stojí, a bude to celé jinak?

Na okraji jsou nějaké disciplíny, které nepracují jen s přesně definovanými pojmy. Tam se zrovna pohybuji jako učitel. Statistika a numerické metody, to jsou takové popelky v matematice, protože se vymykají té preciznosti. Nějaké experimenty, které tam provedeme, nemusí dopadnout vždycky stejně a nemusí potvrdit naše předpoklady. Zatímco důkaz Pythagorovy věty dáme vždy s jistotou. Jádro matematiky má opravdu jasná pravidla. Ale nepodceňujme lidskou fantazii, protože takových pokusů se děje kolem spousta. Pořád někdo něco napadá a zkouší. Kvantová logika, je jednou z takových větví. Třeba předpokládáte, že všechno si můžete zkoušet pořád dokolečka. Ale spustit volby stokrát po sobě za stejných podmínek, to nejde. Podle toho ty volební předpovědi taky vypadají. Nejen, že je tam statistická chyba, ale ta statistika je postavena na předpokladu, který neplatí. Tahle disciplína zatím snadno kritizuje, proč se to tak dělat nemá, ale poměrně málo pokročila v tom, jak vybudovat alternativu bez těch silných předpokladů, o kterých už víme, že neplatí.

Trošku je to chyba našeho školství, že ukazuje většinou jen jednu cestu. Neučí nás posuzovat alternativy a vybírat si z nich. To mi chybí. Třeba se řekne, že násobení čísel se dělá takhle. A ještě na vysoké škole máme lidi, co dělají s počítači a nevědí, že se to tak nedělá. Že se to dá dělat chytřeji. Ale ne, že by se to nedělalo. Vždy se našlo dost lidí, kteří nevěřili starým pravdám a něco vylepšili. Lidská fantazie je dost velká na to, aby nás zásobila dostatkem alternativních nápadů hodných studia.

Vy trochu působíte i v oblasti zobrazovacích metod v lékařství. Nemají vaše poznatky aspoň tam docela praktické využití?

Tam působím spíš okrajově v Oborové radě pro doktorské studium, kam jsou přizváni odborníci z různých směrů. Já to víc sleduji, protože jsem na pracovišti, kde se dělá zpracování obrazu, nebo obecněji signálu, strojové učení atd. Občas se se mnou radí o dílčích otázkách. Ano, i tohle je jedna z ambic a taková mírnější. Můžeme zlepšit nástroje, které by pomohly doktorům zpracovat tu spoustu obrázků z rentgenu, z CT, magnetické rezonance. Stačí ušetřit kvalifikovanou práci doktora, aby se mohl soustředit na to, v čem je nenahraditelný. To může posunout zdravotnictví kupředu, aniž by to muselo být postavenou na nějakých špičkových myšlenkách.

My totiž máme takový neduh, že spousta chytrých lidí vylepšuje věci, které už mnoho chytrých lidí vylepšilo před nimi. Věci, které už jsou udělány velmi dobře, se snažíme udělat ještě lépe. A na druhé straně je kolem spousta věcí, které jsou zanedbané a snadno by se daly zlepšit, ale nikdo se o to nepokouší. Ti chytří dělají něco jiného, protože na tomhle by kariéru neudělali. A to nás možná trápí víc než to, jestli dostaneme ještě lepší a novější přístroje na tuhle zobrazovací metodu.

Například velké úsilí bylo vloženo do vývoje úsporných zdrojů světla, jako jsou LED. Ale zbývá navrhovat lampy tak, aby nesvítily do nebe, a také je občas vyčistit. Na tom se deklarovaná účinnost ztrácí. Ekologická hnutí zase hledají úspory, ale drobné, místo těch, které jdou snadno, rychle a ve velkém. Např. přesvědčit uživatele klimatizací, že si nemají v létě nastavovat takovou teplotu, že si dovnitř oblékají svetry, aby neonemocněli. Třeba v Indii běžně nastavují 18 stupňů, v USA dokonce 15.

Dalším příkladem je tepelná regulace. Žehlička a trouba, to je řešení přes padesát let staré. Za tu dobu se s tím nic neudělalo, nikdo to nekalibruje. Zkuste si dát do trouby teploměr a porovnat to s tím, na kolik vám topí. Už jsme našli rozdíl i padesát stupňů. To je potom jedno, co napíšete do kuchařky, jestli 180 nebo 200 stupňů, když ve skutečnosti nikdo neví, co tam v té své troubě má, přestože na to má kolečko.

Takových věci potkává člověk v životě hodně a moc mě to mrzí.

Moc děkuju. Máte na závěr něco, co byste rád vzkázal přímo mensanům a čtenářům časopisu Mensa?

Dovolil bych si takové malé poselství. Když má člověk takovéhle vlohy, má výhodu v tom, že pokud si najde správnou práci, tak s poměrně malým úsilím může splnit vše, co se od něj očekává. Na druhé straně ale odejde z práce, zaklapne dveře a vejde do života. A jestli je takový pedant jako já a očekává, že ostatní také odvedli svou práci zodpovědně a kvalitně, tak je taky brzo zklamán. Narazí na to, že spousta věcí je bohužel nedotažených, nepovedených, a že bude muset jednat s lidmi, kteří mu budou vykládat něco, o čem ví, že to tak není.

Máte nějaké doporučení, jak k tomu přistoupit?

To bohužel ne, to je prostě dilema, se kterým celý život válčím, a žádné zázračné řešení na to nemám. Mám v tom jen takový pokrok, za který nemůžu, a sice, že moje nynější žena, mensanka, to za mě vezme, když se vyskytne nějaké choulostivé téma, kde by se někdo mohl třeba urazit, tak já jenom načrtnu, co bych chtěl, a ona to doformuluje. Dělá mi takový interface se světem v záležitostech, kde bych mohl snadno narazit. Tímto jí děkuji, že mě chrání od věcí, které by mě hodně mučily.

Zřejmě se jí to daří, protože jste náš rozhovor začínal s úsměvem. Děkuji za váš čas.

Děkuji za zájem.

Odkazy na web:

Oficiální profil na webu ČVUT: mensa.click/rs
Profil na webu ResearchGate: mensa.click/rt
Publikace v digitální knihovně Asociace pro výpočetní techniku: mensa.click/ru
Profil na webu Prabook: mensa.click/rv
Hnutí Brontosaurus: brontosaurus.cz
Profil závodníka na Behej.com: mensa.click/rw

Profesor Jarník za svůj život napsal 90 vědeckých článků. V nich se věnoval převážně teorii diofantických aproximací (oblast teorie čísel), reálným funkcím a teorii mřížových bodů.

Jako ukázku problému z teorie mřížových bodů se podívejme na obrázek 1. Mějme kruh se středem v počátku a poloměrem r. Označme P(r) počet všech mřížových bodů s celočíselnými souřadnicemi, které leží uvnitř kruhu. (V našem případě je P(r) = 37.) Úkolem je určit, jak moc se počet P(r) může lišit od hodnoty π r².

Jarníkovy učebnice diferenciálního a integrálního počtu vychovaly už několik generací matematiků. Od prvního vydání těchto kvalitních učebnic uplyne v roce 2015 už šedesát let. Dodnes se z nich studenti matematiky učí.

Po tomto významném českém matematikovi je pojmenována Mezinárodní matematická soutěž Vojtěcha Jarníka, která je každoročně pořádána Ostravskou univerzitou v Ostravě. Soutěž je určena pro vysokoškolské studenty a sjíždějí se na ni soutěžící z celé Evropy. Letos na konci března proběhne už její 25. ročník. Soutěžící řeší v průběhu čtyř hodin čtyři úlohy, které jsou pečlivě vybrány porotou. Druhý den odpoledne je pak slavnostní zakončení, na němž jsou vyhlášeni nejlepší soutěžící. Ve volném čase je pro soutěžící připraven doprovodný program. Více informací o soutěži, případně registrační formulář je možné nalézt na webových stránkách http://vjimc.osu.cz.

Pro představu uvádíme jednu z úloh, kterou soutěžící řešili před dvěma lety. Nalezněte všechna kladná celá čísla, pro která existuje kladné celé číslo takové, že desítkový zápis čísla začíná a končí stejnou číslicí.

Zdroje

· Novák, Břetislav (editor). Life and work of Vojtěch Jarník. Prometheus 1999. http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/402236

· Wikipedia. 

Nová studie publikovaná v časopisu Frontiers in Human Neuroscience (Hranice lidské neurovědy) popisuje, jak výzkumníci ukazovali patnácti matematikům vzorce, které předtím zhodnotili jako krásné, neutrální nebo ošklivé. Pomocí magnetické rezonance přitom zkoumali jejich mozkovou aktivitu. Výsledky ukázaly, že krása matematiky vzbuzuje aktivitu ve stejné části mozku, konkrétně v orbito-frontálním kortexu, jako krása uměleckých děl nebo hudby.

Profesor Semir Zeki z neurobiologické laboratoře na UCL, který tento výzkum vedl, řekl: „Mnohým z nás se matematické vzorce zdají suché a nepřístupné, ale pro matematika může být rovnice ztělesněním krásy. Krása vzorce může spočívat v jeho jednoduchosti, symetrii, eleganci nebo v tom, že vyjadřuje neměnnou exaktní pravdu. Již Platon matematiku považoval za nejvyšší vrchol krásy. Proto je zajímavé zkoumat, zda krása matematiky, která je tak intelektuální a abstraktní, vyvolává aktivitu ve stejné části mozku jako krása vnímaná z emocionálních a vjemových zdrojů.“

Zkoumaní matematici dostali během studie 60 matematických vzorců, které si měli v klidu prohlédnout a ohodnotit na stupnici od -5 (ošklivý) do 5 (krásný) podle toho, jak se jim vzorec líbí. O dva týdny později byli požádáni, aby vzorce ohodnotili znovu. Jejich mozek byl přitom zkoumán pomocí magnetické rezonance.

Vzorce nejčastěji hodnocené jako krásné (a to jak před, tak během skenování) byly Eulerova rovnost, Pythagorova věta a Cauchyho-Riemannovy rovnice. Eulerova rovnost (e^iŔ + 1 = 0) spojuje pět základních matematických konstant pomocí tří základních aritmetických operací, z nichž každá se ve větě vyskytuje právě jednou. Krása této rovnice bývá přirovnávána k monologu v Hamletovi. Jako nejošklivější ohodnotili matematici Srinivasa Ramanujanovy nekonečné řady a Riemannovu funkci zeta.

Profesor Zeki dodal: „Zjistili jsme, že stejně jako u vnímání vizuální krásy nebo hudebních zážitků činnost mozku úzce souvisí s tím, za jak intenzivní své zážitky lidé považují – dokonce i v tomto případě, kde je zdroj krásy velmi abstraktní. Tato studie nabízí odpověď na důležitou otázku z oboru estetiky. Na otázku, o které se již dlouho diskutuje – a to, zda lze estetické vjemy kvantifikovat.“

Autor: Z originálu Beautiful Maths… (MWJ 4/2014) přeložila Pavla Janovská, MWJ článek převzal ze ScienceDaily „Mathematical beauty activates same brain region as great art or music“