Jak jsme již uvedli, velké množství géniů minulosti odmítalo aktuální nekonečno. Byl to třeba již zmíněný Aristoteles, nebo Euklid (své v „nekonečnu“ protínající se rovnoběžky měl definovány potenciálně). Zenon z Eleje svými známými paradoxy také zpochybňoval nekonečno, konkrétně nekonečné dělení prostoru nebo času. Dalšími odpůrci nekonečna byli Archimedes, Avicena, Galileo, Thomas Hobbes, John Locke, Newton, George Berkeley, David Hume, a matematici d’Alembert, Lagrange, Gauss, Cauchy, Poincaré a další. Dokonce samotný Cantor, který založil svou teorii množin na nekonečné množině přirozených čísel, zastával názor, že neexistují nekonečně malé veličiny, a že kalkulus pracuje pouze s limitami. To ale oslabuje i jeho pozici pro teorii množin, jak je mu vytýkáno, neboť jeden typ nekonečna uznává, jiný ne. Ještě k odpůrcům existence nekonečna přidejme žijícího génia Dorona Zeilbergera, což je matematik, kterého někteří řadí na úroveň Fieldsovy medaile (tato medaile je obdobou Nobelovy ceny, ale pro matematiku, a je vzácnější než Nobelovka, protože se uděluje jednou za 4 roky).

Vypadá to, že velká převaha názorů je na straně „odmítačů“ nekonečna. David Hilbert s jeho programem absolutní matematiky sice prohlásil: „Nikdo nás nebude moci vyhnat z ráje, který pro nás vytvořil Cantor.“, a myslel tím Cantorovu teorii množin založenou na nekonečnu, ale najdeme i jeho překvapivé prohlášení, že: „… nekonečno nikde nenajdeme; není přítomno v přírodě ani není přípustné jako základ našeho racionálního myšlení…“. Považoval je jen za fiktivní, nicméně užitečný koncept, ne za ontologickou, tedy existující entitu. I Kurt Gödel, asi nejčistší zastánce aktuálního nekonečna, považoval nekonečnou množinu přirozených čísel, tuto bránu, kterou kolem roku 1900 vtrhlo nekonečno do matematiky, za silnou idealizaci a dával taky šanci „nekonečnu“ potenciálnímu. Skoro to vypadá, že jediný čistý zastánce nekonečna byl Bolzano, v jehož Paradoxech nekonečna lze ale celkem snadno zjistit, že píše často spíše o nekonečnu potenciálním, pokládaje ho za aktuální.

Ale pravda nejde odhlasoval, a to ani génii, takže stojí-li logika proti všem géniům, vyhrává logika. Ostatně, kdyby dnes matematici hlasovali, obrovská většina by se nekonečna zastala. Ale co na věc tedy říká sama logika? I z pohledu logiky to vypadá na prohru nekonečna. Ono by mohla úplně stačit jazyková analýza pojmu nekonečna. Má to být něco, co nemá konec, ovšem dotažené až do konce. Nic už by nemělo jít přidat jako u potenciálního „nekonečna“. V angličtině je pro nekonečno dokonce běžný termín completed infinity. Jak říkal geniální matematik profesor Vopěnka, je to „vyčerpání všech nevyčerpatelných možností“. Už tato rozpornost tohoto pojmu by vlastně stačila, aby bylo jasné, že nekonečno neexistuje. Nebo si můžeme uvědomit, že nekonečnou řadu přirozených čísel nelze realizovat, protože „poslední“ člen té řady by měl nekonečně cifer, což nelze zapsat, tedy ani myslet v konkrétní podobě. Ovšem to zdaleka nejsou jediné argumenty nebo vlastně důkazy, jen jsou to ty nejjednodušší.

Galileo totiž podal důkaz spornosti nekonečné řady přirozených čísel (těch dveří, kterými se nekonečno dostalo do matematiky). A tento důkaz svou přesvědčivostí zabránil vstupu nekonečna do matematiky zhruba do roku 1900. Galileo to udělal tak, že vedle sebe postavil dvě řady. Jedna řada byla řada přirozených čísel, 1, 2, 3, 4, …, druhá pak řada jejích druhých mocnin. 1, 4, 9, 16… Samozřejmě každá mocnina patří ke svému základu, tedy by nekonečná řada přirozených čísel měla být stejně velká jako řada odpovídajících mocnin. Ovšem mezi mocninami jsou zase mezery, kam lze doplnit 2, 3, 5, 6, 7, 8 atd. Tedy řada mocnin má menší počet členů než řada přirozených čísel. Tyto dvě řady jsou překvapivě současně stejně i různě velké. Představa této nekonečné číselné řady je tedy sporná, pročež neexistuje stejně jako třeba trojúhelník s pěti vrcholy. Tento důkaz je dnes zastánci nekonečna, eufemisticky nazývaný jen jako paradox. Ovšem jakýkoliv rozpor v základě formálního systému znamená tzv. logickou explozi, tedy to, že cokoliv souvisí s rozporným pojmem, lze současně dokázat i vyvrátit. Je to tedy konec racionálního uvažování. Sporné pojmy proto ve vědecké abstrakci neexistují, jsou nevědecké.

To se ostatně v teorii množin jasně ukazuje na jejích „paradoxech“, jako třeba Cantorův paradox množiny všech množin, Burali-Fortiho paradox, Banach-Tarského paradox (to je ten, jak rozdělit jednu kouli na dvě, stejné jako ta původní). Dále jsou to do lingvistiky směřující paradoxy Berryho a Richardsův. Z rozporné představy nekonečna plynou neřešitelné problémy axiomu výběry a existence kontinua. Samozřejmě nejde v žádném případě o paradoxy, ale o rozpory, které ukazují na nesmyslnost, tedy neexistenci nekonečna. Když nekonečno odmítneme a přijmeme jen potenciální „nekonečno“, zmizí všechny neřešitelné problémy a všechny „paradoxy“, jako kouzelným proutkem. Zastánci nekonečna ale tyto problémy neumí vyřešit, nebo mají „řešení“, která jsou nesystematickými ad hoc záplatami, která nejsou ničím logicky podložena. Třeba, aby se nemohla množina všech množin vkládat pořád do sebe, čímž přestane být množinou všech množin, vymyslí se, že je to třida, které se zakáže vložit samu do sebe. Co ale zabrání tomu, aby se do sebe vložila? Nic. Není v tom žádná logika.

Krásně je vidět, jak veškerá tajemná paradoxnost, tedy nesmyslnost, zmizí použitím potenciálního nekonečna, třeba na paradoxu Hilbertova hotelu. Hotel to je nekonečný, plně obsazený, kam ale přijede autobus s nekonečnem nových hostů, a přesto se do hotelu všichni vejdou. Když na to jdeme potenciálním „nekonečnem“, je to průhledné. U hotelu máme stavební partu, která v mžiku dostaví kolik jen pokojů je třeba. Hotel je pochopitelně vždy konečný, jen je tedy „nafukovací“, neboli potenciálně „nekonečný“. Stejně počet nových hostů je jen potenciálně „nekonečný“, tedy vlastně vždy konečný.

Dále, jakákoliv teorie množin sice říká, že je postavena na nějakém nekonečnu, ale když ji prozkoumáme, zjistíme, že ve skutečnosti ho nikdy nepoužívá, tedy kromě hraničních úvah o „paradoxech“. Je to podobné, jako když měl Newton ve své fyzice nekonečnou rychlost, ale ta se nikdy v klasické fyzice nepoužívá, protože by vznikly nesmysly s ne validní výsledek. Teorie množin používá vždy jen konečný počet prvků množin, ale bez hranic, tedy jen potenciálně „nekonečně“ mnoho prvků. Ostatně velmi často používaný zápis nekonečné řady nekonečných čísel je 1, 2, 3 … , a to je na hony nekonečnu vzdálené. Mimochodem, obrana nekonečna ze strany matematiků se zakládá právě na tom omylu, že bez nekonečna není teorie množin možná.

Používat v matematice potenciální „nekonečno“ je mnohem složitější než užití nekonečna, protože má navíc oproti nekonečnu horizont, za kterým jsou hodnotu neznámé nebo neurčité. Jaké to fuj v božské matematice, že? (Že bychom zrušili i statistiku, protože je jen pravděpodobnostní?) Mnohem jednodušší je mít matematiku na základě tvrzení, že žádný horizont a neurčitost neexistují (což ale zase dává nekonečně se opakující nudu). Zjednodušení potenciálního „nekonečna“ na nekonečno je ale seriózní vědecký postup, jak řešit jednodušší verzi problému či teorie, když je plné řešení problému zatím velmi obtížné ba nemožné. Tak to udělal i zmíněný Newton ve své fyzice, který velkou leč konečnou rychlost světla nevědomě nahradil možností nekonečné rychlosti plynoucí z jeho absolutního prostoru a absolutního času. Kdyby omezil rychlosti rychlostí světla, musel by vybudovat speciální i obecnou teorii relativity, což bylo v jeho době zhola nemožné.

A i z tohoto newtonovského případu je zřejmé, že nekonečno je neexistující utopická idealizace. Fér by bylo vědomě deklarovat, že horizont potenciálního „nekonečna“ nebudeme zatím řešit a odložíme tento problém na později, a že stavíme pouze konečnou zjednodušenou teorii. Mimochodem, je tedy zřejmé, že nekonečno je defacto jednoduší a „menší“ než potenciální nekonečno, protože potenciální „nekonečno“ = nekonečno + horizont + svět za horizontem.

Samozřejmě důkazů neexistence nekonečna je více. Dalším je Skolemův „paradox“, který jasně ukazuje neurčitost nekonečna, konkrétně nemožnost realizovat nekonečnou řadu přirozených čísel. Úvaha je založena na tom, že si myslíme nějaké přirozené číslo M, větší než jakékoliv kdy realizované/myšlené největší přirozené číslo. Jeho hodnotu neznáme, ale můžeme vytvořit sčítáním či odčítáním kolem něj podmnožinu přirozených čísel, která se chová stejně jako obvyklá přirozená čísla, jen neznáme jejich hodnoty. Když tuto podmnožinu budeme rozšiřovat, může zasáhnout i do přirozených čísel, jejichž hodnoty už byly určeny, čímž vznikne schrödingerovská situace (znáte Schrödingerovu živo-mrtvou kočku, že?). Některá čísla mají a současné nemají známou hodnotu. Dokonce můžeme takovou podmnožinu (možná) protáhnout až do záporných čísel, takže některá čísla současně budou i nebudou přirozená. Takových podmnožin je možné udělat libovolný počet a budou se současně překrývat i nepřekrývat atd.

Hlavně se ale množina přirozených čísel roztrhla na libovolný počet neurčitě vzdálených podmnožin, protože takových čísel můžeme myslet libovolný počet, nejen M. Tato množina tedy není kompaktní, jak se klasicky předpokládá. Je i nesourodá co do charakteru. Standardní část je určitá, ostatní části ne. Množina všech nekonečně mnoha přirozených čísel tedy není aktualizována, není ani aktualizovatelná, pročež neexistuje. Dokonce je snadné si představit, že neurčitá část množiny přirozených čísel je mnohem větší než ta část určitá, a kdyby nekonečno skutečně existovalo, byla by ta neurčitá část nekonečně větší než ta určitá. Množina všech přirozených čísel by tak obsahovala přesně 0 % aktualizovaných přirozených čísel se známou hodnotou, tedy jako celek by byla tato množina zcela neurčitá. Neexistuje proto v té určité podobě, jak se obvykle má za to.

Skolemův důkaz je vlastně formálnější vyjádření faktu, že všechny entity (lidé, počítače, knihy…), které obsahují matematiku, mají všechny vlastnosti (paměť, rychlost operací atd.) konečné. Nekonečno proto provždy v nich nemůže existovat, a to ani v abstrakci. A naděje, že je nekonečno v platónské říší idejí, zhasne už otázkou, kde se tato říše nachází. U boha? To jsme ale už opustili vědu a skončili v náboženství.  (Mimochodem, realita nemá s nekonečnem celkem žádný problém, neboť fyzika tvrdí, že když se někde v rovnicích objeví nekonečno, znamená to, že dané teorie tam už neplatí. To je vlastně tvrzení, že nekonečno v realitě neexistuje, je to jen artefakt.)

A tady jsme u toho bodu, kudy se naivní a iracionální představa nekonečna dostala do matematiky. Nekonečnou paměť a nekonečnou rychlost uvažování potřebnou k realizaci všech nekonečně mnoha přirozených čísel (či jiného nekonečna), má jedině všemohoucí a vševědoucí bůh. Žádný člověk nebo jeho výtvor takové vlastnosti nemá. Proto když člověk uvažuje o jakémkoliv nekonečnu, rouhá se a namyšleně si představuje, že je roven bohu. Ale není, má k němu nekonečně daleko. A v lidském světě extrapolace ze známého do neznámého je tím méně spolehlivá, čím na větší vzdálenost se dělá. Zde se ale dělá extrapolace na nekonečnou vzdálenost, takže je jasné, že taková extrapolace je zcela chybná. Nekonečná množina všech přirozených čísel (pro nás, řečeno s Kantem) neexistuje, jak také ukazuje ve svém článku Neexistence množiny všech přirozených čísel geniální profesor Vopěnka. Existuje jen pro boha, který neexistuje. (Nic proti bohu, jako motivaci, viz třeba pyramidy, teorie množin nebo středověké umění. Ale do vědy jako argument bůh nepatří.)

Námitka, že omezit matematiku lidskými limity, znamená antropocentrismus, se odmítne snadno. I kdyby existovaly entity absolutně nedosažitelná našim uvažováním, my o nich nemůžeme říci, že existují, právě proto, že jsou pro nás zcela nedostupné. Takže tvrdit, že existují, je tvrzení zcela nepodložené a nedokazatelné. Princip falsifikace (Popper) určitě máme ve své intuici správně. Jde o princip, že každou konkrétní hranici našeho antropocentrického poznání můžeme posunout, překonat. Problém ale je, že když ji chceme posunout nekonečněkrát či do nekonečna, což je v podstatě totéž, vznikne logická smyčka. Je to jako kouzelnický trik tahání králíka z klobouku. Králík se prostě někam skrytě vloží, aby ho kouzelník následně „stvořil“. Stejný podvůdek se udělá i s nekonečnem, pokud se poctivě nepřizná, že pro něj není žádný důvod a zavede se jako rozporný axiom.

Chceme-li zkonstruovat třeba nekonečnou množinu přirozených čísel, musíme nekonečněkrát přidat číslo 1. To je ale konstruování nekonečna tak, že do úvahy nekonečno v jiné podobě vložíme předem. Je to tautologie nekonečna. A protože ani to „tajně“ vložené nekonečno (nekonečné přidávání jedničky) nelze získat bez jiného nekonečna (třeba nekonečného času), je jasné, že to „tajně“ vložené nekonečno potřebuje jiné, ještě více skrytě vložené nekonečno. A tak bychom mohli postupovat do „nekonečna“. Že by každé nekonečno potřebovalo ke své existenci „nekonečně“ mnoho jiných nekonečen? Krásný pohřeb nekonečna, že?

Nekonečno je evidentně iracionální nevědecký koncept, podoba boha v matematice, která nejenže není v matematice vůbec potřeba, ale vytváří v ní také neřešitelné rozpory. Že je nekonečno božský omyl můžeme zjistit i z historie. Jak píše Petr Vopěnka, znalec historie matematiky, jediný důvod pro nekonečno v matematice byl vždy bůh. To je zcela zřetelné i z Bolzanových Paradoxů nekonečna i z Cantorových prohlášení. Cantor třeba první nekonečné ordinální číslo nazval omegou, což připomíná biblické „já jsem alfa a omega“.

Všimněme si, že výše jsme v podstatě nepoužili žádný matematický argument. Je to logicky proto, že problém existence nekonečna ani není matematický problém. Jde v něm totiž o to, jestli existuje absolutní abstrakce. Ovšem matematika neřešení ani to, co je to abstrakce, ani to, co je to absolutní, a už vůbec ne, co to znamená existovat. Tyto termíny jen ve zjednodušení přijímá z obecnějších, nematematických úvah.

Ještě uveďme, že oproti statickému a údajně určitému nekonečnu má potenciální „nekonečno“ výhodu se své neurčitosti a dynamičnosti. Jak je výhodné začlenit neurčitost do matematiky nám ukázalo zavedení neznámé, bez které by se třeba rovnice řešily hodně obtížně. A zavedení proměnné umožnilo třeba vznik funkcí, bez kterých si nelze matematiku už vůbec představit.

A ještě filosofický závěr. I když jen metaforický. Kdyby bylo bývalo nekonečno existovalo, bylo by nekonečně rozmanité. Jednostranné nekonečno, což je každé nekonečno, o kterém se mluví, by byla skřípající směs absolutnosti nekonečna a relativnosti to, čeho to nekonečno je (třeba řady čísel).

P.S.: Kdyby někdo chtěl další argumenty a systematičtější výklad nekonečna, může si je přečíst v mé Ph.D. disertaci s názvem Filosofie nekonečna . Ale je ještě lepší si přečíst knihu Konec nekonečna, která je dalším rozšířením a zdokonalením disertace, zejména co se týče zdrojů a matematické části.

A protože Mensa připravuje systém mentoringu, tak už dopředu upozorňuji na mou nabídku mentoringu v oblasti „nelidské“ filosofie, např. v otázkách, co je to realita, co je základem světa apod. A také v oblasti filosofie fyziky (interpretace kvantové mechaniky a teorií relativity) a filosofických základů matematiky. Ostatně z obsahu výše uvedených prací je okruh otázek, ke kterým mám trochu co říci, patrný. Nebo se o nich můžete informovat v blogu či můžete zhlédnout video přednášky z celostátního setkání Mensy. Nabídka mentoringu platí zejména pro mladší. Vzpomínám, že jsem jako třináctiletý chodil na univerzitní kurz kvantové chemie a že mě to hodně nakoplo.